PAU Matemàtiques 2002 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 2 (Problemes)

2. Sobre una circumferència de radi 1 m i centre en el punt O considerem els cinc vèrtexs A, B, C, D, E d'un pentàgon regular (és a dir, amb els cinc costats de la mateixa longitud) com el del dibuix següent: (on hem dibuixat també els costats AB, BC, CD i DE; les diagonals AC, BD, CE, DA i EB; i els radis que acaben en cada un dels vèrtexs OA, OB, OC, OD i OE). Calculeu: a) L'angle que formen el radi que acaba en el vèrtex A amb el costat AB i l'angle que formen en el vèrtex A els dos costats que el tenen com a extrem (és a dir, l'angle A entre els costats EA i AB). b) La longitud de cada un dels costats del pentàgon. c) La longitud de qualsevol de les diagonals (per exemple la EB). b) L'àrea del triangle EAB. [4 punts]

2. Sobre una circumferència de radi 1 m i centre en el punt O considerem els cinc vèrtexs A, B, C, D, E d’un pentàgon regular (és a dir, amb els cinc costats de la mateixa longitud) com el del dibuix següent: A E B O D C (on hi hem dibuixat també els costats AB, BC, CD i DE; les diagonals AC, BD, CE, DA i EB; i els radis que acaben en cada un dels vèrtexs OA, OB, OC, OD i OE). Calculeu: L’angle que formen el radi que acaba en el vèrtex A amb el costat AB i l’angle a) que formen en el vèrtex A els dos costats que el tenen com extrem (és a dir, l’angle en A entre els costats EA i AB). b) La longitud de cada un dels costats del pentàgon. La longitud de qualsevol de les diagonals (per exemple la EB). c) L’àrea del triangle EAB. d) Si considerem el triangle OAB, tenim en compte que OA i OB valen 1 i que a) l’angle en O val 360o = 72o, els angles en A i B valdran α = 54o. Aplicant el teorema del cosinus al triangle OAB tindrem b) (AB)2 = 12 + 12 2 × 1 × cos 72o de forma que AB ≃1, 1755. En e […]