PAU Matemàtiques 2026 · Juny · Sèrie 5 (incidències) · Exercici 2

Exercici 2 Puntuació total de l’exercici 2 [2,5 punts en total] Considereu les matrius i , on k és un nombre real qualsevol. 2.1. Calculeu els valors de k per als quals MN és invertible. [0,75 punts] Puntuació de l’apartat 2.1 2.2. Calculeu els valors de k per als quals NM és invertible. [0,75 punts] Puntuació de l’apartat 2.2 2.3. Estudieu per a quins valors reals de m, n i k el sistema és compatible indeterminat. [1 punt] Puntuació de l’apartat 2.3

2.1. El producte 𝑴𝑵 i el seu determinant donen 3 1 3 3 0 9 + 3𝑘−3 3 −1) · ( ) = ( 𝑘−1 −2), 𝑀𝑁= ( 𝑘−1 0 𝑘−1 −1 3𝑘−3 −𝑘+ 1 0 2 |3𝑘+ 6 3 𝑘−3| = 3𝑘2 + 6𝑘−9𝑘−18 −6𝑘+ 6 = 3(𝑘2 −3𝑘−4), 2𝑘−2 3±√9−4(−4) 3±5 que és zero per als valors 𝑘= 2 = 4, −1. Per tant, la matriu 𝑀𝑁 és = invertible per a tot 𝑘 excepte 𝑘= 4 i 𝑘= −1. 2.2. El producte 𝑵𝑴 dona 3 1 𝑘+ 8 8 −1 3 3 0 ). 𝑁𝑀= ( ) · ( −1) = ( 𝑘−1 0 3𝑘−3 3𝑘−3 0 𝑘−1 −1 0 2 2𝑘−2 −2 −2 Com que la primera columna és igual a la segona menys 𝑘 vegades la tercera, el determinant és sempre zero i la matriu 𝑁𝑀 no és invertible per cap valor de 𝑘. Alternativament, es pot calcular el determinant i veiem que dóna zero independentment de 𝑘: 𝑘+ 8 8 −1 𝑘+ 8 8 −1 | = 2(3𝑘−3) | | = | 3𝑘−3 3𝑘−3 0 1 1 0 2𝑘−2 −2 −2 𝑘−1 −1 −1 = 2(3𝑘−3)(−𝑘−8 + 1 + 𝑘−1 + 8) = 0. 2.3. En forma matricial es tracta del sistema d’equacions −1 | 𝑚 3 3 0 𝑛). ( 𝑘−1 −1 Com que | 3 0 −1| = −3 ≠0, el rang de la matriu de coeficients és 2 i el de l’ampliada −1 també, independentment dels tres paràmetre […]