PAU Matemàtiques 2025 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 2

Exercici 2 Considereu el sistema d’equacions lineals següent: a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema per a m = 1. [0,5 punts] c) Resoleu el sistema quan aquest tingui infinites solucions. [0,75 punts]

2. a) Calculem el determinant de la matriu de coeficients: 1 3 1 | = 𝑚2 −(2𝑚−3𝑚) = 𝑚2 + 𝑚= 𝑚(𝑚+ 1) |𝐴| = | 𝑚 0 2 0 𝑚 −1 i observem que s’anul·la quan 𝑚= 0 i 𝑚= −1. Per tant, • Si 𝑚≠0 i 𝑚≠−1, el rang de la matriu de coeficients és 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 3, el rang de la matriu ampliada també i, com que també coincideix amb el nombre d’incògnites, 3, el sistema és compatible determinat; té, per tant, solució única. • Si 𝑚= 0, la matriu de coeficients té determinant zero i rang 2 (per exemple, gràcies 1 3 1 5 al menor |3 1 2| = 6 ≠0). Com que la matriu ampliada ( ) també té 0 0 2 0 0 0 −1 0 rang 2, el sistema és compatible indeterminat i té infinites solucions que dependran d’un paràmetre. • Si 𝑚= −1, la matriu de coeficients també té rang 2, mentre que el rang de l’ampliada 1 3 1 5 és 3: ( ) (desenvolupant, per exemple, el determinant de les tres −1 0 2 0 0 −1 −1 −1 darreres columnes per la segona fila). Per tant, el sistema és incompatible i no té solució. b) Si 𝑚= 1, el sistema queda 𝑥+ 3𝑦+ 𝑧= 5 } […]