PAU Matemàtiques 2026 · Juny · Sèrie 5 (incidències) · Exercici 1

Exercici 1 Puntuació total de l’exercici 1 [2,5 punts en total] Considereu la paràbola y = f(x), amb f(x) = –x2 + 5x, i la hipèrbola y = g(x), amb . 1.1. En quants punts es tallen les gràfiques d’aquestes dues funcions? Calculeu-los tots. [0,75 punts] Puntuació de l’apartat 1.1 1.2. Calculeu l’àrea de la regió situada entre les dues corbes des de x = 1 fins a x = 3. [1 punt] Puntuació de l’apartat 1.2 1.3. Comproveu que f(x) té les arrels als punts d’abscissa x = 0 i x = 5, i que l’ordenada del vèrtex de la paràbola y = f(x) és y = 6,25. Justifiqueu que y = f(x) és l’única paràbola que existeix amb aquestes dues propietats. [0,75 punts] Puntuació de l’apartat 1.3

Exercici 1 1.1. Per trobar els punts de tall entre paràbola i hipèrbola, resolem l’equació 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙): −𝑥2 + 5𝑥= 8 − 𝑥+ 1 (𝑥+ 1)(−𝑥2 + 5𝑥) = 8𝑥+ 8 −8 −𝑥3 + 4𝑥2 + 5𝑥= 8𝑥 𝑥(−𝑥2 + 4𝑥−3) = 0. −2 = {1 −4±√16−12 −4±2 Les solucions són 𝑥= 0 i 𝑥= 3 . Per tant, es tallen = −2 exactament en tres punts. Calculant les seves imatges, es tracta de (0, 𝑓(0)) = (0,0), (1, 𝑓(1)) = (1, 4) i (3, 𝑓(3)) = (3, 6). 1.2. Com que no hi ha més punts de tall que els tres calculats a l’apartat anterior, entre 1 i 3 les gràfiques no es toquen (de fet, 𝒇 està per damunt de 𝒈) i l’àrea demanada és 3 3 8 ∫(−𝑥2 + 5𝑥−8 + 𝐴= ∫(𝑓(𝑥) −𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥= 𝑥+ 1) 𝑑𝑥 1 1 = [−𝑥3 3 + 5𝑥2 = 2 −8𝑥+ 8 ln(𝑥+ 1)] = (−27 3 + 45 2 −24 + 8 ln(4)) −(−1 3 + 5 2 −8 + 8 ln(2)) = −26 3 + 4 + 8 ln(2) = 0.878 … 𝑢2. 1.3. Efectivament 𝑓(𝑥) té arrels als punts d’abscisses 0 i 5, 𝑓(0) = −02 + 0 = 0 i 𝑓(5) = −52 + 25 = 0. La paràbola 𝑦= 𝑓(𝑥) té el vèrtex situat al punt −2𝑥+ 5 = 0 ⟶ 𝑥= 2, que 5 25 25 25 efectivament té per imatge 𝑓( 2) = − 4 + 2 = 4 = 6,25. […]