PAU Matemàtiques 2026 · Juny · Sèrie 5 (incidències) · Exercici 3

Exercici 3 Puntuació total de l’exercici 3 [2,5 punts en total] En una ciutat s’ha estudiat la relació entre els hàbits de lectura i la pràctica d’esport en l’alumnat de batxillerat. Per a fer-ho, s’han formulat les dues preguntes següents a l’alumnat d’aquesta etapa educativa: «Llegeixes com a mínim dos llibres al mes?» i «Practiques algun esport almenys quatre hores a la setmana?» Dels resultats de l’enquesta, es desprèn que el 60 % llegeixen com a mínim dos llibres al mes, dels quals el 70 % practiquen algun esport un mínim de quatre hores a la setmana. També s’observa que, d’entre els que no llegeixen un mínim de dos llibres al mes, el 50 % fan menys de quatre hores setmanals d’esport. Si escollim a l’atzar un alumne/a de batxillerat d’aquesta ciutat: 3.1. Quina és la probabilitat que faci esport almenys quatre hores setmanals? [0,75 punts] Puntuació de l’apartat 3.1 3.2. Si sabem que aquest alumne/a fa esport menys de quatre hores setmanals, quina proba- bilitat hi ha que llegeixi almenys dos llibres al mes? Puntuació de l’apartat 3.2 [0,75 punts] L’Alba és una estudiant de batxillerat que ha anat anotant durant tot el curs quantes hores dedicava a la setmana a llegir i quantes a fer esport. Per a cada setmana té apuntat un nombre real x que correspon a la quantitat d’hores de lectura i que osciŀla entre 1 i 6, i un nombre real y que correspon a la quantitat d’hores de pràctica esportiva. Ha observat que la relació y = 7 – x + ln(2x – 1) s’ajusta força bé a les dades que ha anotat. 3.3. Calculeu, segons aquest model, quin és el màxim i el mínim d’hores per setmana que l’Alba ha dedicat a practicar esport. Puntuació de l’apartat 3.3 [1 punt]

3.1. Considerem els successos aleatoris següents: 𝐿𝑙 = ``llegir almenys dos llibres al mes”, 𝐸 = ``fer un mínim de quatre hores setmanals d’esport”. Les dades del problema ens diuen que 𝑃(𝐿𝑙) = 0,6, 𝑃(𝐸|𝐿𝑙) = 0,7, i 𝑃(𝐸̅|𝐿𝑙̅) = 0,5. Podem visualitzar-les en el diagrama d’arbre adjunt: Pel teorema de la probabilitat total: 𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐿𝑙) · 𝑃(𝐸|𝐿𝑙) + 𝑃(𝐿𝐿̅̅̅) · 𝑃(𝐸|𝐿𝐿̅̅̅) = 0,6 · 0,7 + 0,4 · 0,5 = = 0,42 + 0,20 = 0,62. 3.2. Per la fórmula de Bayes: 𝑃(𝐿𝐿|𝐸̅) = 𝑃(𝐿𝐿∩𝐸̅) = 𝑃(𝐸̅|𝐿𝐿) · 𝑃(𝐿𝐿) = 0,3 · 0,6 1 −0,62 = 0,47 … 𝑃(𝐸̅) 1 −𝑃(𝐸) 3.3. Cal trobar els valors màxim i mínim absoluts de la funció 𝒇(𝒙) = 𝟕−𝒙+ 𝐥𝐧(𝟐𝒙−𝟏) en l’interval [𝟏, 𝟔]. La derivada de 𝒇(𝒙) és 𝒇′(𝒙) = −𝟏+ 𝟐𝒙−𝟏, que s’anul·la només per 𝟐. Aquest punt crític es correspon a un màxim local, ja que la funció (a la vista del 𝒙= 𝟑 𝟑 signe de la derivada) creix per 𝒙< 𝟐 i decreix per 𝒙> 𝟐 . Com que 𝒇(𝟏) = 𝟕−𝟏+ 𝐥𝐧𝟏= 𝟑 𝟑 𝟔, 𝒇( 𝟐+ 𝐥𝐧𝟐≈𝟔, 𝟏𝟗 , i 𝒇(𝟔) = 𝟕−𝟔+ 𝐥𝐧𝟏𝟏 ≈𝟑, 𝟒, deduïm que el màxim i 𝟐) = 𝟕− mínim absoluts de la funció a l’interval […]