PAU Matemàtiques 2026 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 2

Exercici 2 Puntuació total de l’exercici 2 [2,5 punts en total] Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que està format per tres plans a l’es- pai i depèn del paràmetre real m: . 2.1. Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m. Puntuació de l’apartat 2.1 2.2. Interpreteu geomètricament aquest sistema per a tots els valors del paràmetre m i resoleu-lo, si és possible, per al cas m = 1. Puntuació de l’apartat 2.2 2.3. Per a m = 1, és possible afegir una quarta equació de manera que el sistema resultant sigui compatible determinat i tingui com a solució ? Raoneu la resposta. [0,5 punts] Puntuació de l’apartat 2.3

Exercici 2 2.1. La matriu de coeficients i la matriu ampliada del sistema són: 1 𝑚 1 1 𝑚 1 4 ) 𝐴= ( ) 𝑖 𝐴̅ = ( 1 3 1 1 3 1 | 5 𝑚 1 1 𝑚 1 1 4 Calculant el determinant de la matriu 𝐴, tenim 1 𝑚 1 |=3 + 𝑚2 + 1 −3𝑚−1 −𝑚= 𝑚2 −4𝑚+ 3. | 1 3 1 𝑚 1 1 Per obtenir els valors crítics, fem |𝐴| = 0 ⟺𝑚2 −4𝑚+ 3 = 0 ⟺𝑚= 4±√16−12 = 3, 1. En el cas 𝑚≠1, 3, tenim |𝐴| ≠0, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅) = 3 i, com que hi ha tres incògnites, el sistema és compatible determinat. En el cas 𝑚= 3, tenim |𝐴| = 0 i |1 3 1| ≠0 per tant 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2. Per altra banda, 1 3 4 1 3 4 | = −|1 3 1| = 8 ≠0 | | = | 1 3 5 0 0 1 3 1 4 3 1 4 i deduïm que 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅) = 3 i que el sistema és incompatible en aquest cas. Finalment, en el cas 𝑚= 1, tenim |𝐴| = 0, |1 1 3| ≠0, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2, i també 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅) = 2 per tenir la primera i tercera files iguals. En aquest cas, el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. 2.2. Es tracta de tres plans a l’espai, que estan en diverses posicions relatives depenent del valor del paràmetre: d’ac […]