PAU Matemàtiques 2025 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 2

Exercici 2 Considereu el sistema d’equacions lineals següent: a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema per al cas p = –1. [0,5 punts] c) Per al cas p = –1, hi ha alguna solució que compleixi, a més, xy = 10? En cas afirmatiu, indiqueu quantes n’hi ha i trobeu-les totes. [0,75 punts]

2. a) La matriu de coeficients i l’ampliada, 𝐴 i 𝐴′ respectivament, són les següents: 0 1 −1 𝑝+ 3 || 𝑝2 0 −1 5 ⏟ 1 −1 0 3 ⏟ ( 𝐴 ) 𝐴′ En primer lloc, calculem el determinant de 𝐴: 0 1 −1 | = 0 + 𝑝2 −1 = 𝑝2 −1. 𝑝2 |𝐴| = | 0 −1 1 −1 0 Igualant-lo a zero, en resulten els valors 𝑝= 1 i 𝑝= – 1. Per tant, distingim els casos següents: • Si 𝑝≠1, – 1, el determinant de 𝐴 és diferent de zero i, per tant, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴′) = 3, que és igual al nombre d’incògnites. Per tant, es tracta d’un sistema compatible determinat. • Si 𝑝= 1, el determinant de la matriu de coeficients és zero; com que tenim el menor |0 1 0| = – 1 ≠0, aleshores 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2. Però la matriu ampliada té 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴′) = 3 gràcies, per exemple, al menor: 0 1 4 | = 5 −4 −3 = −2 ≠0. | 1 0 5 1 −1 3 Per tant, el sistema és incompatible. • Si 𝑝= – 1, tenim el sistema: 𝑦−𝑧= 2 { 𝑥−𝑧= 5 𝑥−𝑦= 3. Eliminant la segona equació (per ser suma de la primera i la tercera), i com que la matriu (0 1 −1 2 3) té rang 2, el sistema és compatible indetermina […]