PAU Matemàtiques 2025 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 1

Exercici 1 Una família vol comprar un terreny per a fer-s’hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penya-segats segueixen les rectes y = 0 i y = 3x. A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt P = (1, 1), tal com es pot veure en la figura. a) Plantegeu l’equació de la recta r que defineix el tercer costat del triangle en funció del seu pendent m, i comproveu que l’àrea del terreny ve donada per . [1 punt] b) Calculeu el valor de m que fa que l’àrea d’aquest terreny (i, per tant, el seu preu) sigui mínima. Quin és el valor d’aquesta àrea? [1,5 punts]

1. a) Tenint en compte que la recta 𝑟 ha de passar pel punt 𝑃= (1,1) i que 𝑚 és el seu pendent, la recta 𝑟 té per equació 𝑦−1 = 𝑚(𝑥−1). La mida de la base del triangle és l’abscissa del punt d’intersecció de la recta 𝑟 amb l’eix 𝑂𝑋 → 0 −1 = 𝑚(𝑥−1) →𝑥= 𝑚−1 {𝑦−1 = 𝑚(𝑥−1) . 𝑦= 0 𝑚 I l’alçada del triangle és l’ordenada del punt d’intersecció de la recta 𝑟 amb 𝑦= 3𝑥: → 3𝑥−1 = 𝑚(𝑥−1) → 𝑥= 𝑚−1 𝑚−3 , 𝑦= 3 · 𝑚−1 {𝑦−1 = 𝑚(𝑥−1) 𝑚−3 . 𝑦= 3𝑥 La funció a minimitzar és la que calcula l’àrea del triangle: 𝑚2−2𝑚+1 1 𝑚−1 𝑚−1 3 𝑚2−3𝑚· 𝐴(𝑚) = 2 · 𝑚· 3 · 𝑚−3 = 2 · 𝑚2−2𝑚+1 Parlant estrictament el valor de l’àrea és 𝐴(𝑚) = | 𝑚2−3𝑚| perquè hi ha valors de 𝑚 2 · per als quals aquesta expressió és negativa. No tingueu en compte si ignoren aquest detall. b) Derivem la funció àrea i igualem a zero per trobar els possibles extrems relatius: (2𝑚−2)(𝑚2−3𝑚)−(𝑚2−2𝑚+1)(2𝑚−3) −𝑚2−2𝑚+3 3 3 𝐴′(𝑚) = (𝑚2−3𝑚)2 = 0, 2 · = 2 · (𝑚2−3𝑚)2 −𝑚2 −2𝑚+ 3 = 0 → 𝑚= 2±√4−4(−1)3 2±4 −2 = 1, −3. = −2 Per comprovar si són màxims o mínims fe […]