PAU Matemàtiques 2025 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 3

Exercici 3 La lesió per sesamoïditis (inflamació de l’os sesamoide del peu) és relativament habitual entre la població que practica esports d’impacte (atletisme, bàsquet, tennis…). En una pobla- ció d’esportistes, s’ha fet un estudi diferenciant entre els que practiquen esports d’impacte i els que practiquen esports sense impacte brusc (com ara natació, pilates, senderisme…). S’ha pogut determinar que el 45 % practiquen esports d’impacte. Entre aquests, un 10 % pateixen lesions per sesamoïditis, mentre que entre els que no practiquen esports d’impacte només un 3 % presenten aquesta lesió. Escollim un esportista a l’atzar. a) Quina és la probabilitat que pateixi sesamoïditis? [0,75 punts] b) Si l’esportista escollit té una lesió per sesamoïditis, quina és la probabilitat que prac- tiqui esports d’impacte? [0,75 punts] Una empresa de calçat esportiu ha creat una sabatilla amb amortiment per a minimitzar les lesions per sesamoïditis. Els beneficis generats per la venda d’aquest producte, en milers d’euros, segueixen una funció de la forma f(x) = ax3 + bx2 + cx, on x són els anys transcorreguts des que la sabatilla va sortir a la venda i a, b i c són constants reals. c) Calculeu els valors de a, b i c sabent que el primer any es van obtenir el màxim de beneficis, amb un valor de 8 000 euros, i que el segon any va haver-hi un punt d’infle- xió en els beneficis. [1 punt]

3. a) Considerem els esdeveniments aleatoris 𝐼= ``𝑝𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡 𝑑′𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑒′′, 𝑆= ``𝑝𝑎𝑡𝑖𝑟 𝑠𝑒𝑠𝑎𝑚𝑜ï𝑑𝑖𝑡𝑖𝑠′′. De les dades de l’enunciat sabem que 𝑃(𝐼) = 0,45, 𝑃(𝐼̅) = 1 −0,45 = 0,55, 𝑃( 𝑆∣𝐼) = 0,1, i 𝑃( 𝑆∣∣𝐼̅ ) = 0,03. Per la llei de les probabilitats totals, tenim: 𝑃(𝑆) = 𝑃(𝑆|𝐼)𝑃(𝐼) + 𝑃(𝑆| 𝐼̅)𝑃(𝐼̅) = 0,1 · 0,45 + 0,03 · 0,55 = 0,0615. b) Per la fórmula de Bayes: 𝑃(𝐼|𝑆) = 𝑃(𝑆|𝐼)𝑃(𝐼) = 0,1 · 0,45 0,0615 ≈0,7317 … 𝑃(𝑆) c) El primer any s’obtenen el màxim de beneficis, per tant 𝑥= 1 és un màxim de la funció i 𝑓′(1) = 0; i aquests beneficis obtinguts són de 8.000 €, per tant, 𝑓(1) = 8. També ens diuen que el segon any hi va haver un punt d’inflexió en els beneficis, per tant, 𝑓′′(2) = 0. Calculem la primera i segona derivades de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 i imposem aquestes tres condicions: 𝑓′(𝑥) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥+ 𝑐, 𝑓′′(𝑥) = 6𝑎𝑥+ 2𝑏, 𝑓′(1) = 0 ⇒3𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 0 } 𝑓(1) = 8 ⟹𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 8 𝑓′′(2) = 0 ⟹12𝑎+ 2𝑏= 0 Restant les dues primeres equacions, obtenim 2𝑎+ 𝑏= −8 i, combinant amb la tercera: 12𝑎+ 2𝑏= 0 […]