PAU Matemàtiques 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 2

2. Considereu el sistema d’equacions següent, on m és un paràmetre real: a) Discutiu el sistema segons el valor del paràmetre m. [1,25 punts] b) Trobeu la solució del sistema per a m = 0. [0,5 punts] c) Per a m = 2, doneu una solució (x, y, z) del sistema que, a més a més, compleixi x = 5y. [0,75 punts]

(a) El determinant de la matriu de coeficients del sistema és 1 −3 𝑚 | = 2𝑚+ 𝑚−6 −𝑚2 −2 + 6 = −𝑚2 + 3𝑚−2, | 1 𝑚 2 1 1 2 −3±√9−4(−1)(−2) que és 0 quan 𝑚= = 1, 2. Si 𝑚 no és ni 1 ni 2, el rang de la matriu de −2 coeficients és 3, per tant el de l’ampliada també, i es tracta d’un sistema compatible determinat. En el cas 𝑚= 1, el rang de la matriu de coeficients és 2 (ja que, per exemple, el menor superior esquerra és no nul) i el de l’ampliada és 3, 1 −3 −2 | | = 1 −2 −9 + 2 −3 + 3 = −8 ≠0. 1 1 3 1 1 1 Per tant, es tracta d’un sistema incompatible. (Alternativament observem que les dues darreres equacions són contradictòries en aquest cas: 𝑥+ 𝑦+ 2𝑧= 3 i 𝑥+ 𝑦+ 2𝑧= 1.) En el cas 𝑚= 2, el rang de la matriu de coeficients és 2 i el de l’ampliada també és 2, 1 −3 2 −2 1 −3 2 −2 1 −3 2 −2 ( 1 2 2 3 ) ~ ( 0 5 0 5 ) ~ ( 0 1 0 1 ) 1 1 2 2 0 4 0 4 0 0 0 0 per tant, es tracta d’un sistema compatible indeterminat amb un grau de llibertat. (b) Si 𝑚= 0 és un sistema compatible determinat i té per soluc […]