PAU Matemàtiques 2025 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

Exercici 3 Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El 60 % de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el 95 % de les peces de ferro pro- duïdes no tenen cap defecte, mentre que el 3 % de les peces d’acer són defectuoses. a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa? [0,75 punts] b ) L’empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de 5. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut p, i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l’expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de 5 peces n’hi hagi exactament 4 de defectuoses (en funció de p) és f(p) = 5(p4 – p5). [0,75 punts] c) Considereu la funció f(p) de l’apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren f(p) quan p ≥ 0. [1 punt]

3. a) Considerem els successos aleatoris següents: 𝐴= "𝑙𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑙𝑖𝑑𝑎 é𝑠 𝑑′𝑎𝑐𝑒𝑟", 𝐹= "𝑙𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑙𝑖𝑑𝑎 é𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜", 𝐷= "𝑙𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑙𝑖𝑑𝑎 é𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎". De les dades de l’enunciat tenim 𝑃(𝐹) = 0,6, 𝑃(𝐴) = 1 – 0,6 = 0,4, 𝑃(𝐷|𝐹) = 0,05, 𝑃(𝐷|𝐴) = 0,03. Per la llei de probabilitats totals, la probabilitat que una peça sigui defectuosa és: 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐷|𝐹)𝑃(𝐹) + 𝑃(𝐷|𝐴)𝑃(𝐴) = 0,05 · 0,6 + 0,03 · 0,4 = 0,042. b) Anomenem 𝑋 el nombre de peces defectuoses en un paquet. De l’enunciat deduïm que 𝑋 segueix una llei binomial amb 𝑛 = 5 i probabilitat 𝑝. Per tant, la probabilitat que en un paquet hi hagi exactament quatre peces defectuoses és: 4) 𝑝4 (1 – 𝑝) = 5! 𝑃(𝑋= 4) = (5 4! 𝑝4 (1 – 𝑝) = 5 𝑝4 (1 – 𝑝) = 5(𝑝4 – 𝑝5). També podem argumentar directament sense fer servir la llei binomial. Com que hi ha quatre peces defectuoses, n’hi haurà exactament una que no ho és. La probabilitat que una en concret (per exemple, la primera) sigui bona i les altres quatre defectuoses és (1 − 𝑝)𝑝4. Com que hi ha cin […]