PAU Matemàtiques 2025 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

Exercici 1 Considereu la funció . a) Determineu els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades, i les equacions de les seves possibles asímptotes verticals, horitzontals i obliqües. [1 punt] b) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la corba y = f(x) en els punts x = 0 i x = 2. Aquestes dues rectes són paraŀleles? Justifiqueu la resposta. [1 punt] c) Hi ha algun punt on la recta tangent a f(x) tingui pendent 1? En cas afirmatiu, tro- beu-lo. [0,5 punts]

1. a) Com que 𝑓(0) = −1 = 0, el tall amb l’eix d’ordenades és al punt (0,0). Per als talls 𝑥2−2𝑥 amb l’eix d’abscisses, hem de resoldre l’equació 𝑥−1 = 0, que té com a solucions 𝑥= 0 i 𝑥= 2; per tant, els talls amb l’eix d’abscisses són (0,0) i (2,0). Aquesta funció té una asímptota vertical a 𝑥= 1, ja que aquest punt és fora del domini i 𝑥2−2𝑥 𝑥2−2𝑥 𝑥2−2𝑥 −1 −1 −1 0 = ±∞ (més precisament, lim +0 = −∞ i lim lim 𝑥−1 = 𝑥−1 = 𝑥−1 = −0 = 𝑥⟶1+ 𝑥⟶1− 𝑥⟶1 +∞). A més a més, aquesta funció té una asímptota obliqua, ja que: 𝑥2−2𝑥 𝑥2−2𝑥 𝑓(𝑥) 1 1 = 1. lim = lim 𝑥(𝑥−1) = lim 𝑥2−𝑥= 𝑥 𝑥⟶∞ 𝑥⟶∞ 𝑥⟶∞ Com que 𝑥⟶∞( 𝑥2 −2𝑥 𝑥2 −2𝑥−𝑥2 + 𝑥 −𝑥 𝑥−1 = −1, 𝑥⟶∞(𝑓(𝑥) −𝑥) = lim lim 𝑥−1 −𝑥) = lim = lim 𝑥−1 𝑥⟶∞ 𝑥⟶∞ es tracta de la recta 𝑦= 𝑥 – 1. b) La derivada d’aquesta funció és: 𝑓′(𝑥) = (2𝑥−2)(𝑥−1) −(𝑥2 −2𝑥) = 2𝑥2 −2𝑥−2𝑥+ 2 −𝑥2 + 2𝑥 (𝑥−1)2 (𝑥−1)2 = 𝑥2 −2𝑥+ 2 (𝑥−1)2 . Com que 𝑓(0) = 0 i 𝑓′(0) = 2, la recta tangent al punt (0,0) tindrà per equació: 𝑦−0 = 2(𝑥−0) ⟶ 𝑦= 2𝑥. 4−4 4−4+2 1 = 0 i 𝑓′(2) = Anàlogament, com que 𝑓( […]