PAU Matemàtiques 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 4

4. S’estima que el 20 % dels habitants d’una regió pateix algun tipus d’arrítmia. Per a diagnosticar-la, hi ha la possibilitat de coŀlocar al pacient un monitor Holter, que detecta l’arrítmia en un 95 % dels casos de persones que la pateixen, però que també dona falsos positius, per motius elèctrics, en persones que no pateixen arrítmies en un 0,5 % dels casos. a) Si escollim 4 persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys una d’elles pateixi arrítmies? [0,75 punts] b) Quina és la probabilitat que una persona escollida a l’atzar obtingui un diagnòstic positiu d’arrítmia? [0,75 punts] c) Si una persona obté un diagnòstic negatiu a la prova del Holter, quina és la probabi- litat que realment pateixi arrítmies? [1 punt]

(a) Sigui 𝐴 l’esdeveniment “patir arrítmia”. De l’enunciat sabem que 𝑃(𝐴) = 0.2. D’entre les 4 escollides, el nombre de persones 𝑁 que pateix arrítmies segueix una distribució binomial amb paràmetres 𝑛= 4 i 𝑝= 0.2. Passant al complementari, obtenim 𝑃(𝑁≥1) = 1 −𝑃(𝑁= 0) = 1 −(1 −0.2)4 = 0.5904. (b) Sigui 𝐻 l’esdeveniment “obtenir diagnòstic positiu d’arrítmia a la prova del Holter”. Siguin 𝐴̅ 𝑖 𝐻̅ els esdeveniments complementaris a 𝐴 i a 𝐻, respectivament. Aleshores, de les dades de l’enunciat deduïm: 𝑃(𝐴̅) = 0.8, 𝑃(𝐻 | 𝐴) = 0.95 i 𝑃(𝐻 | 𝐴̅) = 0.005. Podem aplicar la fórmula de la probabilitat total: 𝑃(𝐻) = 𝑃(𝐻 | 𝐴) · 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐻 | 𝐴̅) · 𝑃(𝐴̅) = 0.95 · 0.2 + 0.005 · 0.8 = 0.194. (c) Per calcular la probabilitat condicionada que se’ns demana, farem servir la fórmula de Bayes: 𝑃(𝐴∩𝐻̅) 𝑃(𝐴)·𝑃(𝐻 ̅̅̅| 𝐴) 0.2·(1−0.95) 𝑃(𝐴 | 𝐻̅) = = 0.012 … . 𝑃(𝐻̅) = = 1−𝑃(𝐻) 1−0.194 0.5 pel plantejament amb la fórmula de les probabilitats totals (o un arbre de decisió) i 0.25 pel càlcul. (c) Compteu 0.5 pel pla […]