PAU Matemàtiques 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Considereu el punt P = (1, 3, 0) i el pla π d’equació x + 2y – 2z = –7. a) Sigui r la recta que és perpendicular a π i passa per P. Calculeu el punt d’intersecció de π amb r. [1 punt] b) Calculeu la distància d del punt P al pla π. [0,5 punts] c) Calculeu l’equació d’un altre pla π′ que sigui paraŀlel a π i que també estigui a distàn- cia d de P. [1 punt]

(a) Per ser perpendicular a 𝜋, la recta 𝑟 tindrà com a vector director 𝑣⃗= (1,2, −2). I, com que ha de passar per 𝑃= (1,3,0), es tracta de la recta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,3,0) + 𝜆(1,2, −2) = (1 + 𝜆, 3 + 2𝜆, −2𝜆). Imposant l’equació del pla 𝜋, obtenim 1 + 𝜆+ 2(3 + 2𝜆) −2(−2𝜆) = −7, 9𝜆+ 7 = −7, 14 14 28 28 −5 −1 28 és a dir, 𝜆= − 9 . Això correspon al punt 𝑄= (1 − 9 ). 9 , 3 − 9 , 9 ) = ( 9 , 9 , (b) Com que el punt 𝑄 que hem calculat és la projecció ortogonal de 𝑃 sobre el pla 𝜋, la distància demanada és 𝑑(𝑃, 𝜋) = 𝑑(𝑃, 𝑄) = 2 2 2 = √(−5 + (−1 + (28 = 1 9 √142 + 282 + 282 = 42 9 = 14 3 . 9 −1) 9 −3) 9 −0) Alternativament, la podem calcular amb la fórmula de la distància punt-pla: 𝑑(𝑃, 𝜋) = |1 + 2 · 3 −2 · 0 + 7| = 14 3 . √12 + 22 + (−2)2 (c) Per ser paral·lel, 𝜋′ haurà de tenir equació de la forma 𝑥+ 2𝑦−2𝑧= 𝐷. I imposant que la distància a 𝑃= (1,3,0) també sigui de 3 obtenim 3 = 𝑑(𝑃, 𝜋′) = |1 + 2 · 3 −2 · 0 −𝐷| = |7 −𝐷| , √12 + 22 + (−2)2 3 és a dir, |7 −𝐷| = 14, 7 −𝐷= ±14, 𝐷= 7 ∓14 = {−7 21. El […]