PAU Matemàtiques 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 5

5. Per a cada punt (x, y) de la corba y = e–2x, amb x > 0 i y > 0, considereu el rectangle amb vèrtexs als punts (0, 0), (x, 0), (0, y) i (x, y). a) Comproveu que, d’entre tots aquests rectangles, el que té és el d’àrea màxima. Quin és el valor d’aquesta àrea? [1,5 punts] b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció y = e–2x en el punt d’abscissa x = 0, i el seu punt de tall amb l’eix de les abscisses. [1 punt]

(a) La gràfica de la funció 𝑦= 𝑒−2𝑥 està esbossada en el dibuix següent, juntament amb un dels rectangles descrits a l’enunciat: Com que un qualsevol d’aquests rectangles mesura 𝑥 de base i 𝑒−2𝑥d’alçada, la seva àrea és 𝐴(𝑥) = 𝑥𝑒−2𝑥. Busquem els extrems relatius d’aquesta funció: 𝐴′(𝑥) = 𝑒−2𝑥+ 𝑥𝑒−2𝑥(−2) = 𝑒−2𝑥(1 −2𝑥) = 0 ⟶ 𝑥= 1 2. A partir del signe de la funció derivada es veu clarament que 𝐴(𝑥) és creixent per a 1 1 1 2 i decreixent per a 𝑥> 2. Per tant, el punt 𝑥= 2 és un màxim absolut de 𝐴(𝑥). Així, 𝑥< 2 i 𝑦= 𝑒−2·(1 2) = 1 1 el rectangle d’àrea màxima correspon al de costats 𝑥= 𝑒, i té àrea 1 1 2𝑒 𝑢2. 𝐴( 2) = (b) La derivada d’aquesta funció és 𝑦′ = −2𝑒−2𝑥. El pendent de la recta tangent en el punt d’abscissa 0 és 𝑦′(0) = −2𝑒0 = −2. Com que 𝑦(0) = 𝑒0 = 1, la recta tangent serà la d’equació 𝑦−1 = −2(𝑥−0), és a dir, 𝑦= −2𝑥+ 1. El punt de tall d’aquesta recta 1 1 amb l’eix d’abscisses és 𝑥= 2, és a dir, el punt ( 2 , 0). 0.25 per trobar el punt crític, 0.5 per justificar que es tracta […]