PAU Matemàtiques 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 3

3. La classe de l’Èlia ha dissenyat el logotip següent per a pintar-lo a la paret de l’institut: La corba que passa pel punt A és y = f(x), amb f(x) = x3 – 4x2 + 4x, i la que passa pels punts B, C = (3, 3) i D és y = g(x), amb . a) Calculeu les coordenades dels punts A, B i D. [0,75 punts] b) Calculeu l’àrea de la zona puntejada. [1,25 punts] c) Els alumnes volen pintar la part puntejada de color blau i la part ratllada de color ver- mell. Sabent que l’àrea total del logotip és m2, de quin color necessitaran més pin- tura? [0,5 punts]

(a) El punt 𝐴 és un punt de tall de 𝑦= 𝑓(𝑥) amb l’eix 𝑂𝑋: 𝑥3 −4𝑥2 + 4𝑥= 0 ⟶ 𝑥(𝑥−2)2 = 0 ⟶ 𝑥= 0, 𝑥= 2. Per tant, el punt 𝐴 té per coordenades 𝐴= (2,0). El punt 𝐷 és un punt de tall de 𝑦= 𝑔(𝑥) amb l’eix 𝑂𝑋: −(𝑥−1 + 4 = 0 ⟶ 𝑥2 −2𝑥−15 = 0 ⟶ 𝑥= 2 ± √4 −4(−15) = −3, 5. ) 2 2 Descartem la solució negativa i podem afirmar, per tant, que el punt 𝐷 té coordenades 𝐷= (5,0). Finalment, el punt 𝐵 és el punt de tall de 𝑦= 𝑔(𝑥) amb l’eix 𝑂𝑌; com que 𝑔(0) = −(0 −1 + 4 = 15 4 , ) es tracta del punt 𝐵= (0, 4 ). Les coordenades del punt 𝐶 ja ens les dóna l’enunciat, 𝐶= (3, 𝑓(3)) = (3, 𝑔(3)) = (3,3). (b) La zona puntejada és l’àrea compresa entre 𝑔(𝑥) i 𝑓(𝑥) des de 𝑥= 0 fins a 𝑥= 3: 𝑑𝑥= ∫(−4𝑥3 + 15𝑥2 −14𝑥+ 15 3 3 𝐴1 = ∫(−(𝑥−1 + 4 −(𝑥3 −4𝑥2 + 4𝑥)) ) ) 𝑑𝑥= 2 4 0 0 = 1 4 [−𝑥4 + 5𝑥3 −7𝑥2 + 15𝑥]0 3 = 9 𝑢2. 175 (c) Sabent que l’àrea total del logotip és de 12 = 14.583 … 𝑢2, la zona ratllada tindrà àrea 14.583 … −9 = 5.583 … 𝑢2. Per tant, per pintar el logotip de la manera que volen, els caldrà més pintura blava […]