Matrius i sistemes d'equacions lineals
PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 1
Enunciat
Text de l'enunciat (transcripció automàtica)
1. Siguin les matrius i .
a) Comproveu que C3 = I2, en què I2 és la matriu identitat d’ordre 2, i deduïu que la
matriu C és invertible i que C–1 = C2. Calculeu C2022.
[1,5 punts]
b) Resoleu l’equació matricial C · X = A – 2I2.
[1 punt]
Criteris oficials de correcció
Text dels criteris (transcripció automàtica)
a)
Efectivament, si multipliquem
𝐶3 = 𝐶2 · 𝐶= 𝐶· 𝐶2 = 𝐶· 𝐶· 𝐶= (−1 1
0) · (−1 1
0) · (−1 1
0) = (0 −1
−1) · (−1 1
0)
−1 −1 −1 1 −1
= (1 0
1).
Per tant en multiplicar 𝐶 per 𝐶2, i a l’inrevés, obtenim la identitat. Amb això provem que
la matriu 𝐶 és invertible i que la seva inversa és 𝐶2
𝐶2 = 𝐶−1 = (0 −1
−1).
Per a calcular 𝐶2022, com que 2022=3·674, 𝐶2022 = (𝐶3)674 = 𝐼2
674 = 𝐼2 .
b)
De l’equació 𝐶· 𝑋= 𝐴−2 · 𝐼2 , multiplicant ambdós termes per l’esquerra per 𝐶−1
obtenim:
𝑋= 𝐶−1 · (𝐴−2 · 𝐼2) = (0 −1
−1) · ((2 −1) −2 · (1
0 0
1)) = (0 −1
−1) · (0 0
−3)
1 3 0 1 3
= (−3 3
3)
−3
Resolució pas a pas
Encara no hi ha resolució pròpia verificada d'aquest exercici. Mentrestant, tens els criteris oficials de correcció a sobre. Si tens dubtes, pregunta'ls al xat de la Sala d'estudi.
Font: enunciat i criteris de correcció oficials de les PAU 2022 de Catalunya, publicats per la Generalitat de Catalunya (universitats.gencat.cat) i les universitats catalanes. La resolució pas a pas és pròpia de L'Acadèmia de Vic.
Altres exercicis d'aquest examen
- Exercici 2 Càlcul integral
- Exercici 3 Matrius i sistemes d'equacions lineals
- Exercici 4 Derivades i aplicacions
- Exercici 5 Geometria de l'espai
- Exercici 6 Funcions (estudi i representació)
Tots els exercicis de Matrius i sistemes d'equacions lineals · PAU de Matemàtiques