PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 3

3. Considereu el sistema d’equacions lineals en què m és un paràmetre real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema, si és possible, quan m = 0 i quan m = 3. En cada cas, doneu la posi­ [1,25 punts]

a) Per a discutir el sistema d’equacions lineals calculem el determinant de la matriu dels coeficient 𝐴, per a calcular-ne el rang. 2 −1 3 | = (2𝑚2 + 2(𝑚−3)) −(6𝑚+ 2(𝑚−3)) = 2𝑚2 −6𝑚. | 0 𝑚 3 −𝑚 2 −1 𝑚 |𝐴| = 0 →2𝑚(𝑚−3) = 0 → 𝑚= 0 𝑚= 3 I per tant podem organitzar la discussió en tres casos.  Cas I: 𝒎≠𝟎 i 𝒎≠𝟑 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 3 = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴 | 𝑏) = nombre d’incògnites i pel Teorema de Rouché- Fröbenius el sistema és compatible i determinat, amb una sola solució, SCD.  Cas II: 𝒎= 𝟎 Com que |𝐴| = 0 tenim que 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) < 3, però |−1 3 3| = −3 ≠0 ⇒𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2. La matriu ampliada és: 2 −1 3 ⋮ 0 2 −1 3 ⋮ 0 2 −1 3 ⋮ 0 𝐴 | 𝑏 = ( ) ) ~ ( ) ~ ( 0 0 3 ⋮ −6 0 0 3 ⋮ −6 0 0 3 ⋮ −6 ⋮ 𝑓3 −𝑓1 ⋮ 𝑓3 + 𝑓2 ⋮ 2 −1 0 6 0 0 −3 6 0 0 0 0 Per tant 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴 | 𝑏) = 2 < 3 = nombre d’incògnites. Per tant és un SCI (sistema compatible indeterminat amb 3 -2 =1 variable lliure, té infinites solucions).  Cas III: 𝒎= 𝟑 Com que |𝐴| = 0 tenim que 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) < 3, però |2 −1 3 | = 6 ≠0 ⇒𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2. La matriu ampliada és: 2 −1 3 ⋮ 0 […]