PAU Matemàtiques 2020 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 3

3. Considereu el sistema d’equacions lineals següent: a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema per al cas a = 2. [1,25 punts]

3. Considereu el sistema d’equacions lineals següent: 𝑎𝑥+ 𝑦= 𝑎 𝑥+ 𝑎𝑦+ 𝑧= 5 { 𝑥+ 2𝑦 + 𝑧= 5 c) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1,25 punts] d) Resoleu el sistema per al cas a = 2. [1,25 punts] Resolució: a) La matriu de coeficients i l’ampliada, A i A’, són les següents: 𝑎 𝑎 1 0 || 5 1 𝑎 1 ⏟ 5 1 2 1 ⏟ ( 𝐴 ) 𝐴′ Mirem quan det(A) = 0 per tal que el rang no sigui màxim: 𝑎 1 0 | = 𝑎2 −2𝑎= 𝑎(𝑎−2) | 1 𝑎 1 1 2 1 Que s’anul·la per a = 0 i a = 2. Així doncs tenim els següents tres casos:  𝑆𝑖 𝑎≠0 𝑖 𝑎≠2 ⇒det(𝐴) ≠0 ⇒𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 3 = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴′) ⇒𝑆𝐶𝐷  Si a = 0 0 1 0 0 || 1 0 1 5 ⏟ 1 2 1 5 ⏟ ( 𝐴 ) 𝐴′ En primer lloc volem calcular el rang(A). Com que det(A) = 0 i el menor |0 1 0| ≠0, aleshores rang(A)=2. Ara volem calcular el rang(A’). Com que la 1a i la 3a columna són iguals, tots els menors que les continguin seran nuls. Ens queda calcular el determinant amb les altres tres columnes: 0 1 0 | = 0. Per tant, rang(A’) = 2 | 1 0 5 1 2 5 Aleshores tenim que rang(A) = rang(A’) = 2 […]