PAU Matemàtiques 2020 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 5

5. Considereu la recta r d’equació i la recta s que passa pel punt P = (2, –5, 1) i que té per vector director (–1, 0, –1). a) Estudieu la posició relativa de les rectes r i s. [1,25 punts] b) Calculeu l’equació general del pla que és paraŀlel a la recta r i conté la recta s. [1,25 punts]

5. Considereu la recta r d’equació 1 i la recta s que passa pel punt 2 = −2 = P = (2,-5,1) i que té per vector director (-1,0,-1). a) Estudieu la posició relativa de les rectes r i s. [1,25 punts] b) Calculeu l’equació general del pla que és paral·lel a la recta r i conté la recta s. [1,25 punts] Resolució: a) El vector director de r és 𝑣𝑟= (2,-2,1) i un punt és 𝑃𝑟= (1,3,0). El vector director de s és 𝑣𝑠= (-1,0,-1) i un punt és 𝑃𝑠= (2, −5,1) La seva posició relativa l’obtindríem a partir de: 2 −1 1 𝑃𝑟𝑃𝑠⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = (1, −8,1) → | | = 2 + 8 −16 −2 = −8 ≠0 −2 0 −8 1 −1 1 Per tant les dues rectes es creuen a l’espai tridimensional. b) El vector normal del pla serà perpendicular als vectors directors respectius de cada recta. 𝑖 𝑗 𝑘 | = 2𝑖+ 𝑗−2𝑘= (2,1, −2) 𝑛= 𝑣𝑟× 𝑣𝑠= | 2 −2 1 −1 0 −1 Com que la recta s ha d’estar continguda al pla (𝑃𝑠∈𝜋 ) → 𝜋: 2(𝑥−2) + 1(𝑦+ 5) −2(𝑧−1) = 0 per tant el pla serà 𝜋: 2𝑥+ 𝑦−2𝑧= −3 o també: 𝑥−2 𝑦+ 5 𝑧−1 | = 2𝑥+ 𝑦−2𝑧+ 3 = 0 | 2 −2 1 −1 0 −1 a) 0,25 per la identificació […]