PAU Matemàtiques 2020 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 2

2. S’han trobat unes pintures rupestres en una cova situada en una zona molt pedregosa. Hi ha un camí que voreja parcial­ ment la cova format per l’arc de corba y = 4 – x2 d’extrems (0, 4) i (2, 0). La cova està situada en el punt de coordenades (0, 2), tal com es mostra en la figura, i es vol habilitar un accés rectilini d des del camí a la cova que sigui el més curt possible. a) Identifiqueu a la gràfica de la figura les coordenades de la cova i del punt del camí des d’on es vol habilitar l’accés. Comproveu que la funció calcula la distància des de cada punt del camí a la cova. [1,25 punts] b) Calculeu les coordenades del punt del camí que queda més a prop de la cova i digueu quina serà la longitud de l’accés d. [1,25 punts]

2. S’han trobat unes pintures rupestres en una cova situada en una zona molt pedregosa. Hi ha un camí que voreja parcialment la cova format per l’arc de corba 𝑦= 4 −𝑥2 d’extrems (0, 4) i (2, 0). La cova està situada en el punt de coordenades (0, 2), tal com es mostra en la figura, i es vol habilitar un accés rectilini des del camí a la cova que sigui el més curt possible. a) Identifiqueu a la gràfica de la figura les coordenades de la cova i del punt del camí des d’on es vol habilitar l’accés. Comproveu que la funció 𝑓(𝑥) = √𝑥4 −3𝑥2 + 4 calcula la distància des de cada punt del camí a la cova. [1,25 punts] b) Calculeu les coordenades del punt del camí que queda més a prop de la cova i digueu quina serà la longitud de l’accés d. [1,25 punts] Resolució: a) Quan posem la graella de valors que ens diu el problema obtenim: Els punts del camí tenen coordenades 𝑃= (𝑥, 4 − 𝑥2). La distància entre A = (0, 2) i qualsevol punt del camí és: 𝑑(𝐴, 𝑃) = √𝑥2 + (4 −𝑥2 −2)2 = √𝑥2 + (2 −𝑥2)2 = √𝑥4 −3𝑥2 + […]