PAU Matemàtiques 2020 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 1

1. Sigui , en què a és un paràmetre real. a) Determineu el rang de la matriu A en funció del paràmetre a. [1,25 punts] b) Comproveu que det(A2 + A) = 0. [1,25 punts]

1. Sigui 𝐴= ( ), en què 𝑎 és un paràmetre real. 1 −1 1 0 𝑎 1 a) Determineu el rang de la matriu 𝐴 en funció del paràmetre 𝑎. [1,25 punts] b) Comproveu que det(𝐴2 + 𝐴) = 0. [1,25 punts] Resolució: a) Discutirem el rang a partir de quan el rang pugui ser màxim (3 en aquest cas), que es correspon amb quan el determinant de la matriu és no nul. Comencem calculant 𝑑𝑒𝑡(𝐴) fent la transformació 𝐹2 →𝐹2 −𝐹1, on F1 i F2 denoten les files 1 i 2 respectivament de la matriu 𝐴. Tenim 1 0 2 | = |−1 −1 1 | = 𝑎−1. 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = | 0 −1 −1 𝑎 0 𝑎 1 Per tant l’únic valor per al qual la matriu no té rang 3 és 𝑎= 1. En aquest cas veiem clarament que té rang 2 ja que |1 0 −1| = −1 ≠0 Per tant tenim: 𝑎≠1, aleshores 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 3. 𝑎= 1, aleshores 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2. b) Tenim 1 0 2 1 0 2 1 2𝑎 4 𝐴2 = 𝐴· 𝐴= ( ) 1 −1 1 ) · ( 1 −1 1 ) = ( 0 1 + 𝑎 2 0 𝑎 1 0 𝑎 1 𝑎 0 1 + 𝑎 1 2𝑎 4 2 2𝑎 6 1 0 2 i per tant 𝐴2 + 𝐴= ( ). 0 1 + 𝑎 2 ) + ( ) = ( 1 𝑎 3 1 −1 1 𝑎 0 1 + 𝑎 0 𝑎 1 𝑎 𝑎 2 + 𝑎 Veiem clarament que det(𝐴2 + 𝐴) = 0 ja que 𝐹1 = 2 · 𝐹2 on […]