PAU Matemàtiques 2020 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Una empresa de ceràmica vol posar a la venda una rajola quadrada de 20 cm de costat pintada a dos colors, de manera que la superfície de cada color sigui la mateixa i que si es posen les rajoles l’una al costat de l’altra es vegi un dibuix continu (figura 1). Figura 1 Figura 2 Per a fer-ho, l’empresa utilitza en cada rajola la funció f(x) = x3 – 3x2 + 2x + 1 enqua­ drada entre els punts de coordenades (0, 0), (0, 2), (2, 0) i (2, 2), tal com es mostra en la figura 2, i fa servir com a unitat de mesura el decímetre. a) Justifiqueu que, efectivament, aquesta funció permet ajuntar les rajoles de manera contínua i derivable. [1,25 punts] b) Justifiqueu que aquesta funció divideix el quadrat esmentat en dues parts que tenen la mateixa superfície. [1,25 punts]

6. Una empresa de ceràmica vol posar a la venda una rajola quadrada de 20 cm de costat pintada a dos colors, de manera que la superfície de cada color sigui la mateixa i que si es posen les rajoles l’una al costat de l’altra es vegi un dibuix continu (figura 1). Figura 1 Figura 2 Per a fer-ho l’empresa utilitza en cada rajola la funció 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −3𝑥2 + 2𝑥+ 1 enquadrada entre els punts de coordenades (0,0), (0,2), (2,0) i (2,2), tal com mostra en la figura 2, i fa servir com a unitat de mesura el decímetre. a) Justifiqueu que, efectivament, aquesta funció permet ajuntar les rajoles de manera contínua i derivable. [1,25 punts] b) Justifiqueu que aquesta funció divideix el quadrat esmentat en dues parts que tenen la mateixa superfície. [1,25 punts] Resolució: a) Sabent que, pel fet de ser un polinomi, la funció f(x) és contínua a tota la recta real, i per tant la continuïtat gràfica de les juntes queda provada només veient que 𝑓(0) = 1 = 𝑓(2) , De manera anàloga, f(x) és derivable –i amb […]