PAU Matemàtiques 2020 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 4

4. Sigui la funció , en què ln indica el logaritme neperià, definida per a x > 0. a) Calculeu les coordenades del punt de la corba y = f(x) en què la recta tangent a la corba en aquest punt és horitzontal. Estudieu si aquest punt és un extrem relatiu i classifiqueu-lo. [1,25 punts] b) Calculeu l’àrea del recinte delimitat per la corba y = f(x), les rectes verticals x = 1 i x = e i l’eix de les abscisses. [1,25 punts]

4. Sigui la funció 𝑓(𝑥) = 𝑥· ln (𝑥), en què ln indica el logaritme neperià, definida per a 𝑥> 0. a) Calculeu les coordenades del punt de la corba 𝑦= 𝑓(𝑥) en què la recta tangent a la corba en aquest punt és horitzontal. Estudieu si aquest punt és un extrem relatiu i classifiqueu-lo. [1,25 punts] b) Calculeu l’àrea del recinte delimitat per la corba 𝑦= 𝑓(𝑥), les rectes verticals x = 1 i x = e i l’eix de les abscisses. [1,25 punts] Resolució: a) Si la recta tangent és horitzontal (f’(x)=0), aleshores: 𝑥𝑥−𝑙𝑛𝑥 1−𝑙𝑛𝑥 1−ln𝑥 𝑓′(𝑥)= = 0 → 1 −ln 𝑥= 0 →ln 𝑥= 1 →𝑥= 𝑒 = → 𝑥2 𝑥2 𝑥2 El punt demanat serà (𝑒, 𝑒) Per determinar si és un extrem relatiu podem utilitzar el criteri de la segona derivada: −1 𝑥𝑥2−2𝑥(1−ln𝑥) −𝑥−2𝑥(1−ln𝑥) −3+2ln 𝑥 𝑓′′(𝑥) = = = 𝑥4 𝑥4 𝑥3 −3+2ln 𝑒 −1 𝑓′′(𝑒) = 𝑒3 < 0 i per tant es tracta d’un Màxim relatiu. = 𝑒3 b) Com que la funció f(x) és positiva per a x > 1, l’àrea (A) que es busca serà el resultat d’integrar: 𝑒 𝑒 𝑒 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥= [(ln 𝑥)2 = (ln 𝑒)2 −(ln 1)2 𝐴= ∫ln 𝑥 𝑥𝑑𝑥= ∫1 = 1 2 𝑢2 […]