PAU Matemàtiques 2016 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 4

4. Sigui A una matriu quadrada d’ordre n que satisfà la igualtat A · (A – I) = I, en què I és la matriu identitat. a) Justifiqueu que la matriu A és invertible i que A–1 = A – I. [1 punt] b) Calculeu el valor de a que fa que la matriu compleixi la igualtat A · (A – I) = I. Calculeu A–1 i comproveu que es correspon amb la matriu calculada a partir del resultat de l’apartat anterior. [1 punt]

4. Sigui una matriu quadrada d’orde que satisfà la propietat ( ) , en què és la matriu identitat. c) Justifiqueu que la matriu és invertible i que . [1 punt] d) Calculeu el valor de a que fa que la matriu ( ) compleixi la propietat ( ) . Calculeu i comproveu que es correspon amb la calculada a partir del resultat de l’apartat anterior. [1 punt] Resolució: Si tenim que ( ) , aleshores ( ) ( ) ( ) i, per a) tant, ( ) i, per tant, la matriu és invertible. La inversa de la matriu serà aquella que multiplicada per , per la dreta i per l’esquerra, doni la identitat I. La matriu ( ) compleix aquesta propietat:  ( ) per hipòtesi de partida.  ( ) ( ) . Observació: S’admet que l’estudiant pugui utilitzar en algun moment, de manera correcta, que . ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) b) ( ) } que té solució per a les quatre equacions. Per tant, Tenim, per tant, ( ( ) ( ) i ) que coincideix amb ( ) ( ) ( ) Apartat a) 0,5 punts per l’argument d’invertibilitat. 0,25 punts pel producte en un ordre. 0,25 punts […]