PAU Matemàtiques 2016 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 2

2. Siguin a ℝ3 el pla π d’equació x – y + 2z = 2 i els punts A = (3, –1, 2) i B = (1, 1, –2). a) Comproveu que els punts A i B són simètrics respecte del pla π. [1 punt] b) Si r és la recta dels punts P que té per equació P = B + λν, en què λ és un paràmetre real i ν = (1, 1, 0), verifiqueu que els punts mitjans dels segments pertanyen al pla π. [1 punt]

2. Siguin a R3 el pla d’equació i els punts ( ) i ( ). c) Comproveu que els punts i són simètrics respecte del pla . [1 punt] d) Si és la recta dels punts de la forma en què és un paràmetre real i ( ), verifiqueu que els punts mitjans dels segments pertanyen al pla . [1 punt] Resolució: Per veure que els punts i són simètrics respecte del pla , comprovarem que a) el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ és perpendicular al pla (és a dir, que el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ és proporcional al vector normal del pla) i que el punt mitjà del segment ̅̅̅̅ pertany al pla . ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) Per altra banda, el punt mitjà del segment ̅̅̅̅ és ( ) que pertany al pla ja que . Tenim ( ) ( ) ( ). b) Els punts mitjans del segments ̅̅̅̅ són de la forma ( ) ( ) Comprovem que les coordenades del punt satisfan l’equació del pla: Apartat a) 0,25 punts pel vector ⃗⃗⃗⃗⃗ . 0,25 punts per la proporcionalitat amb el vector normal del pla. 0,25 punts pel càlcul del punt mitjà. 0,25 punts per la comprovació que el punt mitjà pertany al pla. Apartat b) 0, […]