PAU Matemàtiques 2016 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 5

5. Responeu a les qüestions següents: a) Trobeu l’única matriu de la forma que satisfà que A2 = A, i comproveu que A i A – I no són invertibles. [1 punt] b) Justifiqueu raonadament que si A és una matriu quadrada d’ordre n diferent de la matriu nuŀla, 0, i de la matriu identitat, I, i satisfà la igualtat A2 = A, aleshores les matrius A i A – I no són invertibles. [1 punt]

5. Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu l’única matriu de la forma ( ) que satisfà que i comproveu que i no són invertibles. [1 punt] b) Justifiqueu raonadament que si és una matriu quadrada d’ordre diferent de la matriu nul·la, 0, i de la matriu identitat, , i que satisfà la propietat , aleshores les matrius i no són invertibles. [1 punt] Resolució: ( ) ( ) ( ) a) Quan igualem a la matriu obtenim el sistema } ( ) És a dir, I tenim ( ) ( ) ( ). Observem que ni ni són invertibles ja que totes dues tenen determinant 0. Si aleshores , és a dir ( ) . Anem a demostrar que b) cap de les dues matrius poden ser invertibles. Si fos invertible aleshores ( ) Si fos invertible aleshores ( )( ) ( ) Apartat a) 0,25 punts pel producte matricial. 0,25 punts pel plantejament i resolució del sistema. 0,25 punts per l’expressió de A i A-I. 0,25 punts per veure que ni A ni A-I són invertibles. Apartat b) 0,5 punts per la prova que A no és invertible. 0,5 punts per la prova que A-I no és invertib […]