PAU Matemàtiques 2015 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 5

5. Sigui A una matriu quadrada que compleix que A3 = I, en què I és la matriu identitat, . a) Demostreu que la matriu A té inversa i que A–1 = A2. [1 punt] b) En el cas de , calculeu si hi ha cap valor del paràmetre a per al qual A3 = I. [1 punt]

5. Sigui A una matriu quadrada que compleix que , en què I és la matriu identitat, ( ). a) Demostreu que la matriu A té inversa i que . [1 punt] b) En el cas de ( ), calculeu si hi ha cap valor del paràmetre a per al A  qual 3 . I [1 punt] Resolució: a) La inversa d’una matriu A és una matriu B que compleix A·B = B·A = I, en el  A  3 2  2  1  2 cas de I , resulta que A · A A · A I , per tant A té inversa i A A . Observació: En el cas que no s’expliciti quina és aquesta matriu inversa, és a dir que  1  2 A A , no es penalitzarà la prova que la matriu té inversa, sempre que s’argumenti que s’ha trobat una matriu B que compleix la propietat A·B = B·A = I.       1 a a  2 1 3 a a     2   3 b) Fent les operacions, resulta que: A i A , i    1 4 a a 3 3 a 8     per tant, resulta el sistema } De la tercera equació deduïm a = 3, que efectivament satisfà les quatre equacions.  A  a 3 3 Id Així per a , . Observació: Cal que l’estudiant indiqui que el valor a = 3 é […]