PAU Matemàtiques 2014 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 6

6. Considereu l’equació matricial X · A = B, en què i . a) Per a quins valors del paràmetre a l’equació matricial té una solució única? [1 punt] b) Trobeu la matriu X que satisfà l’equació matricial quan a = 3. [1 punt]

൉ܣൌܤ, on 6. Considereu l’equació matricial 1 െ1 1ܽ ൱ i ܤൌቀെ3 െ2 െ4 ܣൌ൭ 5 ቁ. െ3ܽ െ1 5 െ2 െ1 0 1 a) Per a quins valors del paràmetre ܽ l’equació matricial té una solució única? [1 punt] b) Trobeu la solució ܺ que satisfà l’equació matricial quan ൌ3. [1 punt] Resolució: ൉ܣൌܤ com que A és una matriu 3x3 i B és una matriu 2x3, a) De la igualtat aleshores X serà una matriu 2x3. Demanar que la matriu X sigui única implica que cadascuna de les files de la matriu X ha de ser la solució, també única, del sistema de 3 equacions lineals amb 3 incògnites resultant del producte ൉ܣൌܤ. Aquest sistema 3x3 té per matriu associada la matriu trasposada de la matriu A, i per terme independent cadascuna de les files de la matriu B. Per tant, el sistema serà compatible determinat si i només si el determinanat de la matriu A és diferent de 0. Si igualem el determinant a 0 tenim: 1 െ1 1ܽ ൌ7 อ อൌെ3 ൅ܽ െ1 െ3 ൅ܽ ൌ2ܽ െ7 ൌ0 ⇔ܽ 2. െ3ܽ െ1 െ1 0 1 ଻ ଶ⇒|ܣ|് 0 i aleshores la matriu A admet inversa, ܣିଵ, i ൌܤ൉ܣିଵ. Per tan […]