PAU Matemàtiques 2014 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 4

4. Sabem que una funció f té per derivada la funció f ′(x) = (3x – 2)2 (x – 2). a) Calculeu els valors de x en què la funció f té un màxim relatiu, un mínim relatiu o un punt d’inflexió, i indiqueu en cada cas de què es tracta. [1 punt] b) Determineu la funció f sabent que s’anuŀla en el punt d’abscissa x = 2. [1 punt]

4. Sabem que una funció ݂ té per derivada la funció ᇱሺݔሻൌሺ3ݔെ2ሻଶሺݔെ2ሻ. a) Calculeu els valors de ݔ en què la funció ݂ té un màxim relatiu, un mínim relatiu o un punt d’inflexió, i indiqueu en cada cas de què es tracta. [1 punt] b) Determineu la funció ݂ sabent que s’anul·la en el punt d’abscissa ݔൌ2. [1 punt] Resolució: a) Els punts candidats a ser màxim relatiu o mínim relatiu són els zeros de la funció derivada ݂′. Si igualem la derivada a zero veiem que s’anul·la en els punts d’abscissa ଶ ݔൌ ଷ i ݔൌ2. Per a classificar els punts candidats farem servir la funció derivada segona. ᇱᇱሺݔሻൌ2 ൉3 ൉ሺ3ݔെ2ሻሺݔെ2ሻ൅ሺ3ݔെ2ሻଶൌሺ3ݔെ2ሻሺ6ݔെ12 ൅3ݔെ2ሻ ൌሺ3ݔെ2ሻሺ9ݔെ14ሻ. ᇱᇱሺ2ሻൌ16 ൐0, per tant en ݔൌ2 la funció té un mínim relatiu. Com que ଶ ᇱᇱቀ ଷቁൌ0, no podem concloure que sigui un extrem relatiu. Com que Els punts candidats a ser inflexió són aquells punts que anul·len la segona derivada. ଶ ଵସ ᇱᇱൌ0, obtenim ݔൌ Quan resolem ଷ i ݔൌ ଽ. En els dos casos es tracta de punts d’inflexió ja que la segona derivada canvi […]