PAU Matemàtiques 2014 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 5

5. Donats els vectors u = (2, –1, 0), v = (–1, 3, 4) i w = (0, 3a – 1, 4a), a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè els vectors u, v i w siguin linealment dependents. [1 punt] b) Calculeu els valors del paràmetre a perquè un tetraedre d’arestes u, v i w tingui un volum de 2/3 d’unitats cúbiques. [1 punt]

5. Donats els vectors ݑൌሺ2, െ1, 0ሻ, ݒൌሺെ1, 3, 4ሻ i ݓൌሺ0, 3ܽ െ1, 4ܽሻ. a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè els vectors ݑ, ݒ i ݓ siguin linealment dependents. [1 punt] b) Calculeu els valors del paràmetre a perquè que un tetraedre d’arestes ݑ, ݒ i ݓ tingui un volum de 2/3 unitats cúbiques. [1 punt] Resolució: Per tal que els vectors ݑ, ݒ i ݓ siguin linealment dependents, la matriu quadrada a) d’ordre 3 formada pels tres vectors ha de tenir rang menor de 3, és a dir que el seu determinant s’ha d’anul·lar. 2 െ1 0 െ8ሺ3ܽ െ1ሻെ4ܽ อ െ1 3 3ܽ െ1 อൌ24ܽ ൌ8 െ4ܽ. 0 4 4ܽ Per tant el rang serà inferior a 3 només quan 8 െ4ܽ ൌ0, és a dir ൌ2 . b) El volum d’un tetraede d’arestes ݑ, ݒ i ݓ es calcula amb l’expressió ൌ1 6 |ሾݑ, ݒ, ݓሿ| | ସ௔| ଶ ଷ, és a dir |8 െ4ܽ| ൌ4, que segons el signe de ൌ Així doncs tenim l’equació ଺ l’expressió de dins del valor absolut dóna lloc a dues diferents equacions.  Si 8 െ4ܽ ൒0 ⇒8 െ4ܽ ൌ4 ⇒ܽ ൌ1 .  Si 8 െ4ܽ ൏0 ⇒8 െ4ܽ ൌെ4 ⇒ܽ ൌ3 . Apartat a) 0,25 punts pel plantejament de l […]