PAU Matemàtiques 2014 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 1

1. i . a) Estudieu el paraŀlelisme i la perpendicularitat entre les rectes r i s. [1 punt] b) Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma Ax + By + Cz = D) del pla π que conté la recta r i és paraŀlel a la recta s. Calculeu la distància entre la recta s i el pla π obtingut. [1 punt]

1. Siguin ݎ i ݏ les rectes de Թଷ d’equacions ݎ: ݔ൅5 ൌݕെ5 ൌݖെ3 ݏ: ݔെ3 ൌݕെ2 ൌݖ൅1 െ1 2 3 a) Estudieu el paral·lelisme i la perpendicularitat entre les rectes ݎ i ݏ. [1 punt] b) Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma ܣݔ൅ܤݕ൅ܥݖൌܦ) del pla ߨ que conté la recta ݎ i és paral·lel a la recta ݏ. Calculeu la distància entre la recta ݏ i el pla ߨ obtingut. [1 punt] Resolució: Els vectors directors de les rectes ݎ i ݏ són ݒ௥ൌሺ1,1,2ሻ i ݒ௦ൌሺ2,3, െ1ሻ. a) ଵ ଵ ଶି Els vectors ݒ௥ i ݒ௦ no són proporcionals, ja que un no és múltiple de l’altre ( ଵ) ଶ ଷ i per tant les rectes ݎ i ݏ no són paral·leles. El producte escalar dels dos vectors directors és ݒ௥൉ݒ௦ൌ1 ൉2 ൅1 ൉3 ൅2 ൉ሺെ1ሻൌ 3് 0 per tant les rectes ݎ i ݏ no són perpendiculars. Si el pla ߨ ha de contenir la recta ݎ aleshores ݒ௥ൌሺ1,1,2ሻ serà un dels seus b) vectors directors i el pla ߨ haurà de passar pel punt de la recta ܲ௥ൌሺെ5,5,3ሻ. Per altra banda si el pla ߨ ha de ser paral·lel a la recta ݏ aleshores ݒ௦ൌሺ2,3, െ1ሻ serà també un dels vectors dir […]