PAU Matemàtiques 2014 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 5

5. Responeu a les qüestions següents: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ⇔ AB = BA. a) Si A i B són dues matrius quadrades d’ordre n, demostreu que , amb a, b ∈ ℝ, comproveu que el [1 punt] b) Si M1 i M2 són dues matrius de la forma producte M1 · M2 té també la mateixa forma i que M1 · M2 = M2 · M1. [1 punt]

5. Responeu a les qüestions següents: a) Si A i B són dues matrius quadrades d’ordre n, demostreu que ሺܣ൅ܤሻଶൌܣଶ൅2ܣܤ൅ܤଶ ⇔ܣܤൌܤܣ [1 punt] െܾܾܽቁ, amb ܽ,ܾ ∈Թ, comproveu b) Si ܯଵ i ܯଶ són dues matrius de la forma ቀܽ que el producte ܯଵ൉ܯଶ té també la mateixa forma i que ܯଵ൉ܯଶൌܯଶ൉ܯଵ . [1 punt] Resolució: a) Si desenvolupem el terme quadràtic i tenim en compte que el producte de matrius no és commutatiu, obtenim ሺܣ൅ܤሻଶൌሺܣ൅ܤሻ൉ሺܣ൅ܤሻൌܣଶ൅ܣܤ൅ܤܣ൅ܤଶ Per tant la igualtat de l’enunciat es cumplirà si i només si ܣଶ൅ܣܤ൅ܤܣ൅ܤଶൌܣଶ൅2ܣܤ൅ܤଶ ܣܤ൅ܤܣൌ2ܣܤ ܤܣൌ2ܣܤെܣܤ ܤܣൌܣܤ. െܾܾܽቁ i ܯଶൌቀܽ′ െܾ′ܾ b) Denotem ܯଵൌቀܽ ′ ቁ i fem el producte ܯଵ൉ܯଶ. ′ܽ ᇱെܾܾ ᇱെܾܽ െܾܾܽቁቀܽ′ ′ െܾܽ ′ቁൌቀܣ ′ܾܽ െܤ െܾ′ܾ ܯଵ൉ܯଶൌቀܽ ′ ቁൌቀܽܽ ܣቁ ᇱ൅ܾܽ ᇱ൅ܽܽ ܤ ′ܽ ′ െܾܾ I efectivament podem veure que la matriu producte és de la mateixa forma ja que coincideixen els elements de la diagonal principal i són oposats els elements de la diagonal segona. Per a comprovar la commutativitat de les matrius ܯଵ i ܯଶ fem l’altre producte ᇱെܾܾ ᇱെܾܽ ܯଶ൉ܯଵൌቀܽ′ െܾ′ܾ െܾܾܽቁൌቀܽܽ ′ െܾܽ […]