PAU Matemàtiques 2014 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 3

3. Siguin els punts P = (1, 1, 0), Q = (1, 0, 1) i R = (0, 1, 1) i el pla π: x + y + z = 4. a) Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma Ax + By + Cz = D) del pla que passa pels punts P, Q i R. [1 punt] b) Si S és un punt de π, comproveu que el volum del tetraedre de vèrtexs P, Q, R i S no depèn del punt S. [1 punt]

3. Siguin els punts a) Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma ܣݔ൅ܤݕ൅ܥݖൌܦ) del pla que passa pels punts P, Q i R. [1 punt] b) Si S és un punt de , comproveu que el volum del tetraedre de vèrtexs P, Q, R i S no depèn del punt S. [1 punt] Resolució: a) El pla que passa pels punts P, Q i R té per vectors directors, per exemple, els vectors ܲܳሬሬሬሬሬԦ ൌሺ1,0,1ሻെሺ1,1,0ሻൌሺ0, െ1,1ሻ i ܴܲሬሬሬሬሬԦ ൌሺ0,1,1ሻെሺ1,1,0ሻൌሺെ1,0,1ሻ i per tant un punt ሺݔ, ݕ, ݖሻ del pla haurà de satisfer la igualtat (demanant que passi pel punt P) ݔെ1 0 െ1 อ อൌെݔ൅1 െݕ൅1 െݖൌ0. ݕെ1 െ1 0 ݖ 1 1 És a dir ݔ൅ݕ൅ݖൌ2 . Si S és un punt del pla ߨ: ݔ൅ݕ൅ݖൌ4, aleshores S és de la forma b) ሺݔ, ݕ, 4 െݔെݕሻ. Així doncs el tetraedre de vèrtexs P, Q, R i S tindrà per arestes els vectors ሬሬሬሬሬԦ ൌሺ1,0,1ሻെሺ1,1,0ሻൌሺ0, െ1,1ሻ, ሬሬሬሬሬԦ ൌሺ0,1,1ሻെሺ1,1,0ሻൌሺെ1,0,1ሻ i ሬሬሬሬԦ ൌሺݔ, ݕ, 4 െݔെݕሻെሺ1,1,0ሻൌሺݔെ1, ݕെ1,4 െݔെݕሻ i per tant el seu volum serà 0 െ1 ݔെ1 ൌ1 6 หൣܲܳሬሬሬሬሬԦ,ܴܲሬሬሬሬሬԦ,ܲܵሬሬሬሬԦ൧หൌ1 อቮൌ1 െ1 0 ݕെ1 6 |െݔ൅1 െݕ൅1 െ4 ൅ݔ൅ݕ| 6 ቮอ 1 1 4 െݔെݕ ൌ2 6 ൌ1 […]