PAU Matemàtiques 2014 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 4

4. Donats els plans π1: x – 4y + z = 2m –1 i π2: 2x – (2m + 2)y + 2z = 3m + 1, a) Determineu els valors de m perquè els plans π1 i π2 s’intersequin en una recta i calculeu un vector director de la recta resultant que no depengui de m. [1 punt] b) Sigui el pla π: 3x – 2y + 3z = 8. Estudieu la posició relativa del pla π amb la recta r defi­ nida per la intersecció dels plans π1 i π2 quan m = 1. [1 punt]

4. Donats els plans ߨଵ: ݔെ4ݕ൅ݖൌ2݉ െ1 i ߨଶ: 2ݔെሺ2݉ ൅2ሻݕ൅2ݖൌ3݉ ൅1. a) Determineu els valors de m perquè els plans πଵ i πଶ s’intersequin en una recta i calculeu un vector director de la recta resultant que no depengui de m. [1 punt] b) Sigui el pla ߨ: 3ݔെ2ݕ൅3ݖൌ8. Estudieu la posició relativa del pla  amb la recta r definida per la intersecció dels plans πଵ i πଶ quan ൌ1. [1 punt] Resolució: a) Que els dos plans πଵ i πଶ s’intersectin en una recta, diguem-ne ݎ vol dir que el sistema d’equacions format per les respectives equacions dels plans és compatible indeterminat. El sistema és ൜ ߨଵ: ݔെ4ݕ൅ݖൌ2݉ െ1 ൅1 ߨଶ: 2ݔെሺ2݉ ൅2ሻݕ൅2ݖൌ3݉ o en forma matricial ቀ1 െ4 2ቚ2݉ 1 െ1 ൅1ቁ, 2 െ2݉ െ2 3݉ i només es tracta de garantir que la matriu de coeficients tingui rang 2, és a dir que el menor ቚ1 െ4 െ2ቚ sigui diferent de 0. 2 െ2݉ ቚ1 െ4 െ2ቚൌെ2݉ െ2 ൅8 ൌെ2݉ ൅6 ൌ0 ⇔݉ ൌ3. 2 െ2݉ Per tant, πଵ i πଶ s’intersecten en una recta si i només si 3. Per a aquests casos el vector director de la recta ݎ serà el producte vectoria […]