PAU Matemàtiques 2014 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 2

2. Responeu a les qüestions següents: a) Discutiu el sistema d’equacions lineals en funció dels valors de k. [1 punt] b) Resoleu el sistema per a k = 1. [1 punt]

2. Responeu a les qüestions següents: a) Discutiu el sistema d’equacions lineals ଶെ1ሻݖ ሺ݇ െ1ሻݕ൅ሺ݇ ൌ 0    ( 4 k )1 x y 7 z ൌ 1 ൞   x y z ൌ 0 en funció dels valors de k. [1 punt] ൌ1. b) Resoleu el sistema per a [1 punt] Resolució: a) Les matrius de coeficients, A, i ampliada, A’, del sistema són ଶെ1 0 0݇ െ1݇ ൭ อ 1 ൱ 4݇ ൅1 െ1 െ7 1 1 1 i es tracta d’estudiar el rang(A) i el rang(A’). Per a determinar els valors de discussió del paràmetre k mirem quan el rang(A) és màxim, és a dir 3, que serà quan el seu determinant sigui diferent de zero. ଶെ1 0 1݇ ൅1 0݇ െ1݇ |ܣ| ൌอ อൌሺ݇ െ1ሻอ อൌ 4݇ ൅1 െ1 െ7 4݇ ൅1 െ1 െ7 1 1 1 1 1 1 ൌሺ݇ െ1ሻ൫ሺ4݇ ൅1ሻሺ݇ ൅1ሻെ7 ൅ሺ݇ ൅1ሻെሺ4݇ ൅1ሻ൯ൌ ଶ൅2݇ ൌሺ݇ െ1ሻሺ4݇ െ6ሻ. ଷ ൌ1 i ൌ Quan igualem a zero i resolem l’equació de segon grau obtenim ଶ. Observació: Si el càlcul del determinant es fa sense treure factor comú, aleshores cal ଷെ݇ ଶെ4݇ aplicar la regla de Ruffini al polinomi 2 ൅3 i veure que té té una arrel ൌ1 i que pot factoritzar com doble en ଷെ݇ ଶെ4݇ െ1ሻଶሺ2݇ 2 ൅3 ൌሺ݇ ൅3ሻ ଷ ൌ1 […]