PAU Matemàtiques 2012 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 3

3. Considereu el sistema d’equacions lineals següent: a) Calculeu el valor o els valors del paràmetre a per al qual o per als quals el siste- ma és compatible indeterminat. b) Quantes solucions té aquest sistema quan a=−3? [1,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b]

3.- Considereu el sistema d’equacions lineals següent: x + y −3z = 2   2x + ay −5z = 2a + 3 . 2x −3y + (a −2)z = 9 (a) Calculeu el valor o els valors del paràmetre a per al qual o per als quals el sistema és compatible indeterminat. (b) Quantes solucions té el sistema quan a = −3? [1,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b] Solució (a) Calculem el determinant de la matriu del sistema, 1 1 −3 = a2 + 2a −3 . 2 a −5 2 −3 a −2 Evidentment, aquest apartat es pot resoldre també aplicant el mètode de Gauss a la matriu ampliada del sistema, 1 1 −3 | 2 1 1 −3 | 2     2 a −5 | 2a + 3 −→ 0 a −2 1 | 2a −1 .   2 −3 a −2 | 9 0 −5 a + 4 | 5 A partir d’aquí l’escalonament es torna bastant complicat; llavors, podem analitzar si les dues últimes files de la matriu del sistema (no ampliada) són proporcionals (per tal que rang A̸ = 3), a −2 1 a + 4 ⇐⇒(a −2)(a + 4) = −5 ⇐⇒a2 + 2a −3 = 0 ⇐⇒a = 1 o a = −3 , = −5 tal com surt per l’altre mètode. • Per a = 1, l’escalonament de la matriu am […]