PAU Matemàtiques 2011 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 3

Donada la funció f(x)=x3+ax2+bx+c: 3. a) Determineu la relació que han de complir els paràmetres a, b i c perquè f(x) tin- gui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x= −1. b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè hi hagi un punt d’inflexió de la funció f(x) en el punt d’abscissa x=0. c) Determineu la relació entre els paràmetres a, b i c sabent que la gràfica de f(x) talla l’eix OX en el punt d’abscissa x= −2. d) Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c perquè es compleixin les tres propietats anteriors alhora. [0,5 punts per cada apartat]

3.- Donada la funció f(x) = x3 + ax2 + bx + c: (a) Determineu la relació que han de complir els paràmetres a, b i c perquè f(x) tingui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = −1 . (b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè hi hagi un punt d’inflexió de la funció f(x) en el punt d’abscissa x = 0 . (c) Determineu la relació entre els paràmetres a, b i c sabent que la gràfica de f(x) talla l’eix OX en el punt d’abscissa x = −2. (d) Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c perquè es compleixin les tres propietats anteriors alhora. [0,5 punts per cada apartat] Solució (a) Perquè hi pugui haver un extrem relatiu de la funció en x = −1, cal que f′(−1) = 0 . Com que f′(x) = 3x2 + 2ax + b, la relació buscada és 3 −2a + b = 0 . (b) En un punt d’inflexió la segona derivada ha de ser zero. Tenim que f′′(x) = 6x + 2a ; per tant, f′′(0) = 2a = 0 . Llavors, a = 0 . (c) És clar que la condició és f(−2) = −8 + 4a −2b + c = 0 . (d) Cal resoldre el sistema 3 −2a + b = 0 , a = 0 , −8 + 4a −2b + c = 0 […]