PAU Matemàtiques 2011 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 5

i el pla π:2x+y−5z=5. 5. Considereu la recta a) Estudieu la posició relativa de la recta r i el pla π en funció del paràmetre a. b) Quan a=3, calculeu la distància de la recta r al pla π. [1 punt per cada apartat]

5.- Considereu la recta r : x −1 = y + 2 = z −a i el pla π : 2x + y −5z = 5 . 3 −1 (a) Estudieu la posició relativa de la recta r i el pla π en funció del paràmetre a. (b) Quan a = 3, trobeu la distància de la recta r al pla π. [1 punt per cada apartat] Solució (a) El vector director de la recta és vr = (3, −1, 1); el punt P = (1, −2, a) pertany a la recta r. Per altra banda, el vector normal del pla π és vπ = (2, 1, −5). Comprovem si vr i vπ són o no ortogonals, vr · vπ = (3, −1, 1) · (2, 1, −5) = 3 · 2 + (−1) · 1 + 1 · (−5) = 0 . Efectivament, ho són. Per tant, la recta és paral·lela al pla o la recta està continguda en el pla. Per acabar-ho de decidir, mirem si el punt P pertany o no al pla. P ∈π ⇐⇒2 · 1 + (−2) −5a = 5 ⇐⇒a = −1 . En definitiva, Si a = −1, la recta està continguda al pla. Si a̸ = −1, la recta i el pla són paral·lels. (b) Per trobar la distància entre una recta i un pla paral·lels, n’hi ha prou en calcular la distància d’un punt qualsevol de la recta al pla. Així, d(r, […]