PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 4

4. Siguin A, B i C matrius quadrades d’ordre n. a) Expliqueu raonadament si és possible que det A ≠0, det B ≠0 i det (A · B) = 0. Si és possible, poseu-ne un exemple. b) Si sabem que det A ≠0 i que A · B = A · C, expliqueu raonadament si podem assegurar que B = C. [1 punt per cada apartat]

4.- Siguin A, B i C matrius quadrades d’ordre n. (a) Expliqueu raonadament si és possible que det A̸ = 0, det B̸ = 0 i det(A · B) = 0. Si és possible, poseu-ne un exemple. (b) Si sabem que det A̸ = 0 i A · B = A · C, expliqueu raonadament si podem assegurar que B = C. [1 punt per apartat] Solució (a) Una de les propietats dels determinants ens assegura que det(A · B) = det A · det B. Per tant, la situació proposada és impossible. (b) Quan det A̸ = 0 podem assegurar que la matriu és invertible. Per tant, A · B = A · C ⇐⇒A−1(A · B) = A−1(A · C) ⇐⇒(A−1 · A)B = (A−1 · A)C ⇐⇒B = C .