PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 5

5. Siguin r i s dues rectes d’equacions . a) Trobeu el valor del paràmetre a perquè aquestes rectes es tallin. b) En el cas en què es tallen, trobeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que les conté. [1,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b]

5.- Siguin r i s dues rectes d’equacions s : x + 1 = y −2 = z −a r : (x, y, z) = (−4, 3, 4) + t(2, −1, 1) , . −1 3 (a) Trobeu el valor del paràmetre a perquè aquestes rectes es tallin. (b) En el cas en què es tallen, trobeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que les conté. [1,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b] Solució (a) Els vectors directors respectius de les rectes són vr = (2, −1, 1) i vs = (1, −1, 3). Com que no són proporcionals, les dues rectes es creuen o es tallen. Així doncs, busquem el valor del paràmetre a perquè es tallin. Hi ha vàries maneres de trobar aquest valor. Entre elles, per exemple, podem utilitzar les equacions paramètriques de la recta r per substituir el valor de x, y i z a la recta s. (x, y, z) = (−4, 3, 4) + t(2, −1, 1) ⇐⇒x = −4 + 2t, y = 3 −t, z = 4 + t . Llavors, utilitzant la primera igualtat de s, El punt de tall, si existeix, és P = (0, 1, 6). Agafant ara la segona de les igualtats que defineix s, 1 −2 […]