PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 3

3. Determineu el valor dels paràmetres a, b i c perquè la gràfica de la funció sigui la següent: [2 punts]

3.- Determineu el valor dels paràmetres a, b i c perquè la gràfica de la funció f(x) = a x2 + bx + c sigui la següent: -3 1 [2 punts] Solució És evident que la funció té dues asímptotes verticals, x = −3 i x = 1. Això vol dir que el denominador de la funció s’ha d’anul·lar per aquests valors. Arribem, doncs, al sistema 9 −3b + c = 0 1 + b + c = 0 que té per solució b = 2, c = −3. També es pot resoldre aquest troç de la qüestió adonant-se’n que el denominador ha de ser Ara solament cal fer passar la funció pel punt (−1, −2). a f(−1) = −2 ⇐⇒ (−1)2 + 2(−1) −3 = −2 ⇐⇒a = 8 . Així el valor dels paràmetres és a = 8, b = 2, c = −3. Observem que no hem utilitzat en cap moment que el punt (−1, −2) és un màxim relatiu de la funció. Si es vol, es pot comprovar que efectivament és així. 16(1 + x) f′(x) = − (x2 + 2x −3)2 =⇒f′(−1) = 0 . A més a més, f′(x) > 0 si −3 < x < −1 i f′(x) < 0 si −1 < x < 1.