PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 4

4. Hem escalonat la matriu ampliada d’un sistema d’equacions lineals, A · X = b, i hem obtingut: a) Discutiu aquest sistema en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan a = 2. [1,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b]

4.- Hem escalonat la matriu ampliada d’un sistema d’equacions lineals, A · X = b, i hem obtingut: 1 −2 3 | 2   (A|b) ∼ 0 a + 2 1 | −1 .  0 0 a −1 | 3 (a) Discutiu aquest sistema en funció del paràmetre a. (b) Resoleu-lo quan a = 2. [1,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b] Solució (a) Vist l’enunciat, hi ha dos valors del paràmetre a a estudiar; en efecte, Si a̸ = −2 i a̸ = 1, tenim que rang A = rang (A|b) = 3, que coincideix amb el nombre d’incògnites. Llavors, el sistema és compatible determinat. Per a = 1, és clar que rang A = 2 i rang (A|b) = 3. El sistema és, doncs, incompatible (també es pot raonar veient que la tercera equació és 0 = 3). Quan a = −2, la matriu no està acabada d’escalonar. Acabant l’escalonament, 1 −2 3 | 2 1 −2 3 | 2     0 0 1 | −1 ∼ 0 0 1 | −1 ,   0 0 −3 | 3 0 0 0 | 0 es veu que rang A = rang (A|b) = 2; el sistema és compatible indeterminat. (b) Quan a = 2, el sistema d’equacions inicial és equivalent al sistema x −2y + 3z = 2   4y + […]