PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 2

Considereu la igualtat matricial (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. 2. a) Comproveu si les matrius i compleixen o no la igualtat anterior. b) En general, donades dues matrius qualssevol A i B quadrades del mateix ordre, expliqueu raonadament si hi ha alguna condició que hagin de complir perquè la igualtat de l’enunciat sigui certa. [1 punt per cada apartat]

2.- Considereu la igualtat matricial (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. −1 −2 2 2 (a) Comproveu si les matrius A = i B = compleixen o no la igualtat 1 2 −1 −1 anterior. (b) En general, donades dues matrius qualssevol A i B quadrades del mateix ordre, ex- pliqueu raonadament si hi ha alguna condició que hagin de complir perquè la igualtat de l’enunciat sigui certa. [1 punt per cada apartat] Solució (a) Realitzem els càlculs demanats. −1 1 1 2 2 −2 2 2 0 0 (A + B)2 = + = = . 1 2 −1 −1 0 1 0 1 −1 −1 2 2 −2 −2 2 2 2 2 A2 + 2AB + B2 = + 2 + 1 2 1 2 −1 −1 −1 −1 −1 0 1 −2 0 2 2 0 = + 2 + = . 1 2 0 0 −1 −1 0 1 (b) En realitat, (A+B)2 = (A+B)(A+B) = A2+AB+BA+B2̸ = A2+2AB+B2, ja que, en general, AB̸ = BA. Així, la condició que han de complir les matrius A i B perquè es verifiqui la igualtat de l’enunciat és que AB = BA.