PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 1

Donats el pla π:x + 2y + 3z – 4 = 0 i els punts P = (3, 1, –2) i Q = (0, 1, 2): 1. a) Calculeu l’equació contínua de la recta perpendicular al pla π que passa pel punt P. b) Calculeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla perpendicular a π que passa pels punts P i Q. [1 punt per cada apartat]

1.- Donats el pla π : x + 2y + 3z −4 = 0 i els punts P = (3, 1, −2), Q = (0, 1, 2): (a) Calculeu l’equació contínua de la recta perpendicular al pla π que passa pel punt P. (b) Calculeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla perpen- dicular a π que passa pels punts P i Q. [1 punt per cada apartat] Solució (a) Qualsevol recta perpendicular al pla π admet, com a vector director, el vector normal al pla. Si anomenem r a la recta buscada, el seu vector director pot ser vr = (1, 2, 3). Com que ha de passar pel punt P = (3, 1, −2), la seva equació contínua és x −3 = y −1 = z + 2 . 1 2 3 (b) Els vectors vπ, normal al pla π, i −−→ QP = P −Q = (3, 0, −4) generen el pla buscat. A més a més, aquest pla ha de passar pel punt P (o pel punt Q). Per tant, la seva equació general és 1 3 x −3 2 0 y −1 = 0 ⇐⇒−8x + 13y −6z −1 = 0 . 3 −4 z + 2