PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 6

Siguin u→ 1 = (–1, 3, 2), u→ 2 = (2, –1, 4) i u→ 6. 3 = (a + 1, a – 1, 4a + 2) tres vectors de l’es- pai vectorial 3. a) Trobeu el valor del paràmetre a per al qual el vector u→ 3 és combinació lineal dels vectors u→ 1 i u→ 2. b) Comproveu que per a a = 0 el conjunt {u→ 1, u→ 2, u→ 3} és linealment independent. [1 punt per cada apartat]

6.- Siguin⃗u1 = (−1, 3, 2),⃗u2 = (2, −1, 4) i⃗u3 = (a + 1, a −1, 4a + 2), tres vectors de l’espai vectorial R3. (a) Trobeu el valor del paràmetre a per al qual⃗u3 és combinació lineal dels vectors⃗u1 i u2. (b) Comproveu que per a a = 0 el conjunt {⃗u1,⃗u2,⃗u3} és linealment independent. [1 punt per apartat] Solució (a) Quan un vector és combinació lineal dels altres dos, el determinant format per ells és nul. −1 2 a −1 3 −1 a −1 = 2a −4; 2a −4 = 0 ⇐⇒a = 2 . 2 4 4a + 2 O sigui, el vector⃗u3 és combinació lineal dels vectors⃗u1 i⃗u2 si i sol si a = 2. També es pot fer plantejant l’equació x⃗u1 + y⃗u2 =⃗u3; és a dir, −x + 2y = a + 1  −x + 2y −a = 1    x(−1, 3, 2) + y(2, −1, 4) = (a + 1, a −1, 4a + 2) ⇐⇒ 3x −y = a −1 ⇐⇒ 3x −y −a = −1 . 2x + 4y = 4a + 2 2x + 4y −4a = 2 Aquest sistema es pot considerar com un sistema de tres equacions amb tres incògnites (x, y i a). El resolem pel mètode de Gauss, −1 2 −1 | 1 −1 2 −1 | 1 −1 2 −1 | 1       3 −1 −1 | −1 ∼ 0 5 −4 | 2 ∼ 0 5 −4 | 2 […]