PAU Matemàtiques 2009 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 2

2. Siguin i . a) Comproveu que la inversa de A és A2. b) Comproveu també que A518 = B. [1 punt per cada apartat]

2.- Siguin A = ⎝ ⎠i B = ⎝ ⎠. 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 a) Comproveu que la inversa de A és A2. b) Comproveu també que A518 = B. [1 punt per cada apartat] Solució a) Per comprovar que A−1 = A2, cal veure que A · A2 = I, essent I la matriu identitat d’ordre 3. Calculem primer el valor de A2, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 A2 = A · A = ⎠. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎝ 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 Llavors, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 A · A2 = ⎠, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎝ 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Naturalment, la qüestió es pot resoldre calculant A−1 directament de la matriu A i comprovant després que A−1 = A2, encara que no és aquest el procediment demanat; o sigui, en aquesta qüestió no es demana que l’estudiant sigui capaç de calcular la inversa d’una matriu 3 × 3. b) Com que A · A2 = A3 = I, tenim 172 · A2 = A2 = B. A518 = A3·172+2 = (A3)