PAU Matemàtiques 2009 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 1

QÜESTIONS 1. Donats el punt P = (1, 2, 3) i la recta : a) Trobeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla π que passa per P i és perpendicular a la recta r. b) Trobeu el punt de tall entre la recta r i el pla π. [1 punt per cada apartat]

QÜESTIONS 1.- Donats el punt P = (1, 2, 3) i la recta r : x −1 = y + 2 = z −5 −1 : 2 3 a) Trobeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla π que passa per P i és perpendicular a la recta r. b) Trobeu el punt de tall entre la recta r i el pla π. [1 punt per cada apartat] Solució a) Podem agafar com a vector característic del pla buscat el vector director de la recta; així, π : 2x + 3y −z + D = 0. Imposem ara que el punt P compleixi aquesta equació, 2 · 1 + 3 · 2 −3 + D = 0. D’aquí D = −5. L’equació del pla és π : 2x + 3y −z −5 = 0. b) El punt de tall és el que compleix les dues equacions que defineixen la recta i l’equació del pla, ⎫ ⎫ −x + 1 = 2z −10 x + 2z = 11 ⎬ ⎬ y + 3z = 13 −y −2 = 3z −15 ⎭⇐⇒ ⎭ 2x + 3y −z −5 = 0 2x + 3y −z = 5 Encara que aquest sistema es pot resoldre utilitzant el mètode de Cramer, n’hi ha altres (Gauss, substitució,...) molt més fàcils. La solució d’aquest sistema és x = 3, y = 1, z = 4. El punt de tall és, doncs, (3, 1, 4). ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ […]