PAU Matemàtiques 2008 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 3

3. Discutiu el sistema d’equacions lineals següent en funció dels valors del parà - metre m. [2 punts] Trobeu l’equació de la recta perpendicular al pla π: 2x – y + z + 3 = 0, que passa pel

3.- Donat el sistema d’equacions lineals ⎧ + + ( − 1) = 1 ⎪⎪⎪⎪ x y m z + ( − 1) + = − 1 ⎨⎪⎪ x m y z m − + + = + ⎪⎪⎩ ( 1) 2 m x y z m discutiu-lo en funció dels valors del paràmetre m . PUNTUACIÓ: 2 punts Solució: Primerament es fa l’escalonament de la matriu ampliada, ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ 1 1 1 1 1 1 1 1 m m ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 1 − 1 1 − 1 ⎟ ∼ 0 − 2 2 − − 2 ⎟ ⎜ m m ⎜ m m m ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + − + − ⎝ 1 1 1 2 ⎠ ⎝ 0 2 2 3 ⎠ m m m m m ⎛ ⎞ 1 1 − 1 1 m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 0 − 2 2 − − 2 ; 2 ⎟ + − = 0 ⇔ = − 1 , = 2 . ∼ m m m m m m m ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ 2 ⎝ 0 0 2 + − + 1 ⎠ m m m m = 2 S’observa que els valors que cal estudiar separadament són m = − i 1 . S’arriba a la mateixa conclusió igualant a zero el determinant de la matriu de coeficients 1 1 − 1 m 3 2 2 1 − 1 1 = − + 3 − 4 = − ( − 2) ( + 1) . m m m m m − 1 1 1 m Llavors, quan m és diferent de 2 i de -1, el sistema és compatible determinat. ⎛ 1 1 1 1 ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = 2 0 0 0 0 Si , la matriu ampliada, després d’escalonar, és ⎟ i el sistema és m […]