PAU Matemàtiques 2008 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 2

2. Considereu les matrius i . a) Trobeu la matriu M, quadrada d’ordre 2, tal que M · A = B. b) Comproveu que M2 = I2 (matriu identitat d’ordre 2) i deduïu l’expressió de Mn. [1 punt per cada apartat]

2.- Siguin = ⎠ i ⎟ = ⎟ . A ⎜ B ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎜⎝ 2 2 2 − 2 ⎠ a) Trobeu la matriu M , quadrada d’ordre 2, tal que M A ⋅ = . B b) Comproveu que = (matriu identitat d’ordre 2); deduïu l’expressió de M I M . n PUNTUACIÓ: 1 punt cada apartat. Solució: a) Podem calcular M utilitzant la matriu inversa de la matriu A, − 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 3 1 − 3 1 3 1/ 4 3 / 8 − 1/ 2 3 / 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − 1 = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ M B A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 − 2 ⎠⎝ − 1/ 4 1/ 8 ⎠ ⎝ 1 1/ 2 ⎠ ⎛ ⎞⎟ x y ⎜ = També es pot resoldre com un sistema d’equacions, posant ⎠. Llavors, ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜⎝ z t + 2 = 1 ⎫ ⎧ = − 1/ 2 ⎪ ⎪ x y x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ − + = ⎪ ⎪ = 1 3 1 3 3 2 3 3 / 4 x y x y y ⎪ ⎪ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⋅ = ⇔ ⇔ ⎟ ⎟ ⎟ ⎬ ⎨ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 − 2 ⎠ + 2 = 2 = 1 z t z t z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − + = − = 3 2 2 ⎪ ⎪ 1/ 2 z t ⎭ ⎩ t ⎛ ⎞⎟ ⎧⎪⎪ 1 0 , si és senar M n ⎜ 2 = ⋅ = = = ⎨⎪⎪⎩ b) En efecte, ⎟ . Amb això, n . M M M I M ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 0 1 ⎠ , si és parell I n